Siirtymätodennäköisyysmatriisi

Siirtymätodennäköisyysmatriisi on neliömäinen matriisi, joka kuvaa Markovin ketjun tilojen välisiä siirtymiä. Sen alkiot edustavat todennäköisyyttä siirtyä tilasta toiseen tietyn ajan yksikön aikana. Matriisin rivit edustavat lähtötiloja ja sarakkeet kohdetiloja. Matriisin kaikkien rivien alkioiden summa on aina yksi, sillä jokaisesta tilasta on varmuudella siirryttävä johonkin tilaan.

Siirtymätodennäköisyysmatriisin avulla voidaan mallintaa monenlaisia ilmiöitä, kuten osakemarkkinoiden liikkeitä, säätilojen muutoksia tai kuluttajien ostokäyttäytymistä. Matriisin avulla voidaan laskea todennäköisyyksiä olla tietyssä tilassa tulevaisuudessa useiden aikayksiköiden kuluttua. Tämä tehdään toistamalla matriisin korottamista itsensä kanssa.

Esimerkiksi, jos meillä on kaksi tilaa, A ja B, siirtymätodennäköisyysmatriisi voisi näyttää tältä:

[[0.8, 0.2],

[0.3, 0.7]]

Tämä tarkoittaa, että jos ollaan tilassa A, on 80% todennäköisyys pysyä tilassa A ja 20% todennäköisyys siirtyä tilaan B. Vastaavasti, jos ollaan tilassa B, on 30% todennäköisyys siirtyä tilaan A ja 70% todennäköisyys pysyä tilassa B. Tämän matriisin avulla voidaan laskea vaikkapa todennäköisyys olla tilassa A kahden aikayksikön kuluttua, jos aloitetaan tilasta A.

Siirtymätodennäköisyysmatriisin tutkiminen voi paljastaa Markovin ketjun pitkän aikavälin käyttäytymistä, kuten sen tasapainotiloja. Tasapainotila on tila, jossa tilojen välinen jakauma ei enää muutu ajan kuluessa.