siirtymätodennäköisyysmatriiseille

Siirtymätodennäköisyysmatriisi on neliömäinen matriisi, joka esittää diskreetin aikajärjestyksen Markov-ketjun mahdollisten tilojen välisiä todennäköisyyssiirtymiä. Matriisin rivit edustavat ketjun alkutiloja ja sarakkeet tiloja, joihin siirrytään. Matriisin jokainen alkio P_ij antaa todennäköisyyden siirtyä tilasta i tilaan j yhden aikayksikön aikana. Siirtymätodennäköisyysmatriisin rivien alkioiden summan on aina oltava yksi, koska jostakin tilasta on aina siirryttävä johonkin toiseen tilaan (mukaan lukien mahdollisuus pysyä samassa tilassa).

Matriisin avulla voidaan analysoida ketjun käyttäytymistä pitkällä aikavälillä. Toistamalla matriisikertolaskua itseensä (esim. P^2, P^3 jne.) saadaan matriiseja, jotka kuvaavat todennäköisyyksiä siirtyä tilasta toiseen useamman aikayksikön jälkeen. Jos Markov-ketju on regularinen ja aito, toistuva matriisikertolasku lähestyy ns. stationaarista jakaumaa, jossa tilojen todennäköisyydet eivät enää muutu ajan kuluessa. Siirtymätodennäköisyysmatriisien sovelluksia löytyy monilta aloilta, kuten fysiikasta, biologiasta, taloustieteestä ja tietojenkäsittelytieteestä. Niitä käytetään esimerkiksi mallintamaan hiukkasten liikettä, populaatiomuutoksia, osakekurssien kehitystä ja verkkosivujen käyttäjien navigointia.