Siirtymätodennäköisyysmatriisien

Siirtymätodennäköisyysmatriisi, tunnetaan myös nimellä Markov-matriisi, on neliömatriisi, joka kuvaa siirtymätodennäköisyyksiä Markovin prosessissa. Markovin prosessi on stokastinen prosessi, jossa seuraavan tilan todennäköisyys riippuu vain nykyisestä tilasta, ei aiempien tilojen sarjasta. Siirtymätodennäköisyysmatriisi $P$ on määritelty siten, että sen alkio $p_{ij}$ on todennäköisyys siirtyä tilasta $i$ tilaan $j$ yhdessä aikayksikössä.

Matriisin rivien summan on aina oltava yksi, sillä jokaisesta tilasta on varmasti siirryttävä johonkin tilaan (tai pysyttävä samassa tilassa). Samoin jokaisen alkion on oltava ei-negatiivinen, koska todennäköisyydet eivät voi olla negatiivisia. Siirtymätodennäköisyysmatriisin avulla voidaan mallintaa monenlaisia ilmiöitä, kuten populaation dynamiikkaa, osakekurssien muutoksia tai tekstin generointia.

Jos Markovin prosessi on ajallisesti homogeeninen, siirtymätodennäköisyydet eivät muutu ajan myötä, ja samaa siirtymätodennäköisyysmatriisia voidaan käyttää kaikilla aikaväleillä. Monimutkaisempien prosessien tapauksessa voidaan käyttää tilariippuvaisia siirtymätodennäköisyysmatriiseja, jotka muuttuvat ajan funktiona. Siirtymätodennäköisyysmatriisin ominaisarvot ja -vektorit tarjoavat arvokasta tietoa prosessin pitkän aikavälin käyttäytymisestä, kuten tasapainotilasta.