siirtymätodennäköisyysmatriisilla

siirtymätodennäisyysmatriisi on neliömatriisi, joka kuvaa Markovin prosessin tilojen välisiä siirtymistodennäköisyyksiä. Jokainen matriisin alkio, merkitty P_ij, edustaa todennäköisyyttä siirtyä tilasta i tilaan j yhden aikayksikön aikana. Siirtymätodennäköisyysmatriisin rivien summan on aina oltava yksi, koska tilasta i on varmasti siirryttävä johonkin tilaan. Matriisin koko on N x N, missä N on tarkasteltavien tilojen lukumäärä.

Siirtymätodennäköisyysmatriisin avulla voidaan analysoida Markovin prosessin käyttäytymistä pitkällä aikavälillä. Toistuva matriisikertolasku itsellään antaa todennäköisyydet siirtyä eri tilojen välillä useamman aikayksikön aikana. Jos prosessi konvergoituu stationaariseen jakaumaan, tämä jakauma voidaan löytää ratkaisemalla yhtälö pi * P = pi, missä pi on stationaarinen jakaumavektori ja P on siirtymätodennäköisyysmatriisi. Tällaisia matriiseja käytetään monilla aloilla, kuten fysiikassa, biologiassa, taloustieteessä ja tietojenkäsittelytieteessä. Esimerkiksi verkkosivujen linkkirakenteen analysointi hakukoneissa hyödyntää Markovin ketjuja ja niiden siirtymätodennäköisyysmatriiseja.