sannolikhetsvariabler

Sannolikhetsvariabler, på svenska ofta kallade sannolikhetsvariabler, är funktioner som används inom sannolikhetsteori för att tilldela numeriska värden till utfall av ett slumpmässigt experiment. En sannolikhetsvariabel X definieras som en mätbar funktion från ett sannolikhetsrum (Ω, F, P) till de reella talen R. Genom X får man möjlighet att studera utgångens storlek med hjälp av tal.

Fördelning och funktioner

Om X är diskret har den en sannolikhetsmassfunktion p_X(x) = P(X = x) för varje möjligt värde x, och en kumulativ fördelningsfunktion F_X(x) = P(X ≤ x). För kontinuerliga sannolikhetsvariabler finns en täthetsfunktion f_X(x) och även den gemensamma fördelningsfunktionen F_X(x) = P(X ≤ x), där P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f_X(t) dt. Sannolikhetsfördelningen beskriver hur sannolikheten är fördelad över värdena som X kan anta.

Egenskaper och mått

Huvudmått är förväntat värde E[X] och varians Var(X). För diskreta variabler är E[X] = ∑ x P(X = x); för kontinuerliga variabler är E[X] = ∫ x f_X(x) dx. Var(X) = E[(X − E[X])^2]. Linearity of förväntning gör att E[aX + b] = aE[X] + b och Var(aX + b) = a^2 Var(X). Gemensamma sannolikhetsvariabler X och Y har en gemensam fördelning; oberoende innebär att deras sannolikhetsfördelning faktoriserar.

Transformationer och exempel

Om Y = g(X) är en ny sannolikhetsvariabel, får den sin egen fördelning från X och funktionen g. Exempel på vanliga gruppers variabler inkluderar diskreta: binomial, Poisson; kontinuerliga: normal, exponential, uniform. Sannolikhetsvariabler används i statistik och stokastiska processer för att modellera mätningar, utfall och system som utvecklas över tid.