quasistationären

Quasistationär, im Stochastik-Kontext oft als quasistationäre Verteilung bezeichnet, beschreibt Zustände oder Verteilungen, die sich unter der Bedingung der Nicht-Absorption über die Zeit stabil verhalten. Der zugrunde liegende Prozess kann absorbierende Zustände besitzen, doch die bedingte Verteilung der noch nicht absorbierten Zustände bleibt konstant.

In diskreten Zeiten und endlichen Markovketten betrachtet man eine Transientenzustandsmenge T und absorbierende Zustände A. Eine Quasistationäre Verteilung pi auf T erfüllt für alle t ≥ 0 die Bedingung P(X_t ∈ B | X_t ∈ T) = pi(B) für alle Teilmengen B von T. Äquivalent ist, dass pi ein linkes Eigenvektor der Transitionsmatrix Q auf T ist mit Q pi^T = (1−λ) pi^T, wobei λ > 0 die Absorptionsrate pro Schritt darstellt. In kontinuierlicher Zeit ergibt sich analog über den Generator L: Das Haupt-Eigenpaar (−λ, φ) bestimmt eine Verteilungsform pi ∝ φ auf T; der bedingte Prozess konvergiert gegen pi und die Überlebenswahrscheinlichkeit nimmt wie e^{−λ t} ab.

Existenz und Eigenschaften: Unter geeigneten Voraussetzungen existiert eine Quasistationäre Verteilung; oft ist sie eindeutig und der Übergang zur Verteilung erfolgt exponentiell. Bei unendlichen Zustandsräumen sind zusätzliche Bedingungen nötig, um Existenz und Eindeutigkeit sicherzustellen.

Anwendungen: Quasistationäre Verteilungen finden Anwendung in der Populationsbiologie zur Modellierung von Arten mit Aussterbungsrisiko, in der Epidemiologie zur Beschreibung von Krankheitsausbreitung und Aussterbewahrscheinlichkeit, in der chemischen Kinetik sowie in der Physik bei metastabilen Zuständen. Das Konzept dient dazu, das Verhalten von Systemen zu analysieren, die gegenzeitlich stabil erscheinen, solange noch nicht absorbiert wurde.