quasiIsomorphismus

Ein Quasi-Isomorphismus ist ein Konzept aus der algebraischen Topologie und der homologischen Algebra. Er beschreibt eine Art von Äquivalenz zwischen abelschen Kategorien oder topologischen Räumen, die nicht notwendigerweise isomorph sind, aber ähnliche homologische Eigenschaften aufweisen. Vereinfacht gesagt, sind zwei Objekte quasi-isomorph, wenn sie sich in Bezug auf ihre Homologiegruppen gleich verhalten.

Im Kontext von abelschen Kategorien, wie der Kategorie von Moduln über einem Ring, ist ein Quasi-Isomorphismus ein Morphismus von Komplexen, der auf jeder Homologiegruppe eine Isomorphie induziert. Dies bedeutet, dass die Homologiegruppen des Quellkomplexes isomorph zu den entsprechenden Homologiegruppen des Zielkomplexes sind. Zwei Komplexe, die quasi-isomorph sind, werden als homologie-äquivalent betrachtet.

In der algebraischen Geometrie und der algebraischen Topologie wird der Begriff auch verwendet, um Räume zu vergleichen, deren Singularitäten sich auf eine bestimmte Weise unterscheiden. Ein quasi-isomorphes Paar von Räumen kann wichtige topologische Invarianten teilen, selbst wenn sie nicht identisch sind. Dieser Begriff ist fundamental für das Verständnis von Konvergenz und Verallgemeinerungen von Isomorphismen in diesen mathematischen Gebieten.