Homologiegruppen

Homologiegruppen sind algebraische Invarianten topologischer Räume, die deren n-dimensionale Löcher erfassen. Für einen topologischen Raum X und eine abelsche Gruppe G kann man die Homologie mit Koeffizienten in G notieren als H_n(X; G). Die Grundlage bildet der Kettenkomplex aus Stückweisen von einfachen Abbildungen (singuläre n-Schemata): C_n(X) ist eine freie abelsche Gruppe, deren Generatoren alle Abbildungen σ: Δ^n → X sind. Die Abbildung ∂_n: C_n → C_{n-1} heißt Grenzzoperator. Die n-te Homologiegruppe ist H_n(X) = Ker(∂_n)/Im(∂_{n+1}). Bei Koeffizienten G verwendet man C_n(X; G) = C_n(X) ⊗ G und erhält so H_n(X; G) als Homologie des entsprechenden Komplexes.

Beispiele und wichtige Eigenschaften: H_0(X) ist abelsche Gruppe mit Rang gleich der Anzahl der Zusammenhangskomponenten von X (bei Z-Koeffizienten ist H_0(X) ≅ Z^k). Die Homologie der Sphäre S^n erfüllt H_n(S^n) ≅ Z und H_k(S^n) = 0 für k ≠ n. Ein zusammenziehbares (kontraktierbares) Raumn hat H_n(X) = 0 für n > 0. Homologie ist konfunktoriell: stetige Abbildungen f: X → Y induzieren Gruppenhomomorphismen H_n(f): H_n(X) → H_n(Y). Außerdem gibt es lang exakte Sequenzen, Exklusionseigenschaften und den Zusammenhang mit der Paar-Homologie H_n(X,A). Die Eilenberg-Steenrod-Axiome fassen die wesentlichen Eigenschaften zusammen, und Homologie liefert so invarianten Charakter von Räumen, die oft durch einfache Beispiele wie Anzahl der Löcher oder Oberflächenstrukturen interpretiert werden können. Anwendungen umfassen die Berechnung von Eulerschen Kennzahlen und die Verknüpfung mit Ko-Homologie durch den universellen Koeffizienten-Satz.