propositionallogiikkaa

Propositionallogiikka on muodollinen logiikan ala, joka keskittyy totuusarvoperustaisia lauseita ja niiden muodostamista sekä niiden totuusarvojen loogista seuraamista. Siinä lauseet rakennetaan muuttujista ja liittimistä, ja jokaiselle tulkinnalle määritellään lauseen totuus.

Syntaksi ja semantiikka: Lauseet koostuvat muuttujista (esim. p, q, r) sekä liittimistä kuten negaatio (¬), konjunktio (∧), disjunktio (∨), implikaatio (→) ja ekvivalenssi (↔). Lauseet sulkuineen muodostavat lausekokoelmia, jotka ovat muodostettavissa kieliopillisesti. Semantiikassa on tulkintoja, jotka antavat jokaiselle muuttujalle totuusarvon (tosi tai epätosi) ja laajentavat tämän totuusfunktioksi kaikille muodostetuille lauseille. Tärkeimpiä käsitteitä ovat tautologia (tosi kaikissa tulkinnoissa), tyydyttävyys (on olemassa tulkinta, jossa lause on tosi) sekä looginen seuraamus (premissien totuus vakioi johtopäätöksen totuudeksi kaikissa tulkinnoissa).

Deduktio ja todistaminen: Propositiologian todistusjärjestelmiä ovat Hilbertin tyyppiset aksioomakokoelmat sekä luonnollisen päättelyn järjestelmät. Yleisimmän perusSääntö on Modus ponens: jos p→q ja p, niin q. Myös päättelysäännöt ja todistusfavorit muodostavat lauseiden pätevyyden.

Sovellukset ja yhteydet: Propositionallogiikka toimii peruskivenä laskennallisessa logiikassa, digitaalisten piirejen suunnittelussa, ohjelmoinnissa sekä automaattisessa todistuksessa ja mallintamisessa. Se liittyy Boolean-algebraan ja toimii yleisenä mallina totuusarvojärjestelmille. Historiallisesti sen kehitys yhdistyy 1900-luvun alkupuolen formaliseihin, kuten Fregen ja Principia Mathematican logiikkaan.