ekvivalenssi

Ekvivalenssi (ekvivalenssirelaatio) on matemaattinen suhde joukossa, joka täyttää kolme ominaisuutta: refleksiivisyyden, symmetrisyyden ja transitiivisuuden. Tarkemmin: jokaiselle alkiolle a joukosta S pätee a ~ a; jos a ~ b, niin myös b ~ a; ja jos a ~ b sekä b ~ c, niin a ~ c. Näin muodostuvat ekvivalenssiluokat [a] = { x ∈ S | x ~ a }. Jokainen alkio kuuluu täsmälleen yhteen luokkaan, ja ekvivalenssiluokkien joukkoa S/~ kutsutaan kertomukseksi tai jakamiseksi.

Esimerkkejä: kongruenssi modulo n on ekvivalenssirelaatio, jossa a ~ b, jos erotus a − b on jaollinen n. Ekvivalenssiluokkia ovat jäännösluokat [0], [1], ..., [n−1]. Toiseksi perinteinen esimerkki on identiteetti: a ~ b jos ja vain jos a = b, jolloin jokaisen alkion luokka on yksittäinen {a}.

Käyttö ja merkitys: ekvivalenssirelaatiot antavat tavan ryhmitellä alkioita niiden ominaisuuksien mukaan ja muodostaa uuden rakenteen S/~, jossa alkioiden välinen samanlaisuus tiivistyy luokkiin. Ekvivalenssi on keskeinen käsite monilla matematiikan aloilla, sillä sen avulla voidaan esim. muuttaa jaoitavarastoja, rakentaa kertolaskurakenteita tai tutkia topologisia ja algebrallisia rakenteita siten, että samankaltaisuus on yhtenäistetty.