potenzierung

Potenzierung ist eine mathematische Operation, bei der eine Zahl a zu einem Exponenten n erhöht wird. Die Grundnotation lautet a^n, wobei a die Basis und n der Exponent ist. Je nach Typ des Exponenten ergeben sich unterschiedliche Definitionen und Eigenschaften. Bei ganzzahligen Exponenten n≥0 entspricht a^n dem Produkt von a mit sich selbst n-mal; für n=0 gilt a^0 = 1, sofern a ≠ 0. Bei n<0 ergibt a^n den Kehrwert von a^(-n), also a^n = 1/(a^(-n)) (a ≠ 0). Die Nullbasis hat besondere Grenzfälle: 0^n ist 0 für n>0; 0^0 ist in vielen Kontexten undefiniert oder konventionell als 1 festgelegt; negative Exponenten bei Basis 0 sind undefiniert.

Für reelle oder rationale Exponenten x ist die Potenz a^x definiert, wenn a > 0, über a^x = exp(x ln a). Diese Definition ermöglicht auch Bruch- und Dezimalexponenten. Bei negativer Basis und nicht ganzzahligem Exponenten wird der Ausdruck in der Regel komplex oder undefiniert.

Zu den Grundgesetzen der Potenzierung gehören: a^m · a^n = a^(m+n); (a^m)^n = a^(mn); (ab)^n = a^n b^n; a^m / a^n = a^(m-n) (für a ≠ 0). Weitere wichtige Fälle betreffen a^0 = 1, die Interpretation von Potenzen in der Analysis über die Exponentialfunktion, sowie Umformungen in der Algebra.

In der Praxis kommt Potenzierung in vielen Bereichen vor, von Arithmetik über Analysis bis zur Informatik, wo schnelles Potenzieren zum Einsatz kommt, etwa durch wiederholtes Quadrieren. Beispiele: 2^3 = 8; 2^(-2) = 1/4; 9^(1/2) = 3.