potensialteori

Potensialteori er en gren av matematikk og teoretisk fysikk som studerer potensialer og felt som beskriver krefter som elektrostatikk og gravitasjon. Hovedideen er å representere feltet ved potensialfunksjoner u som oppfyller Laplaces ligning ∆u = 0 i frie områder eller Poissons ligning ∆u = f når kilder er til stede. Nøkkelbegreper inkluderer harmoniske funksjoner (∆u = 0), Greens funksjon og fundamental løsning for Laplace-operatoren, samt grenseverdi-problemer som Dirichlet- og Neumann-problemer.

Metoder og egenskaper: harmoniske funksjoner har mean-value-property og et maksimumsprinsipp; løsninger kan representeres som overflate- eller volumintegraler (Poisson- og Greens formeler). Greens identiteter gir sammenkoplinger mellom volumintegraler og grensens integraler, noe som muliggjør løsning av grenseverdi-problemer og utvikling av boundary-integralmetoder. I høyere dimensjoner danner potensialteori et naturlig rammeverk for å definere og analysere grønn og elektriske felt, samt å studere kapasitet og energibegreper.

Historie og tilknytninger: teorien vokste fram fra studier av elektriske og gravitasjonelle felt på 18. og 19. århundre, med bidrag fra Laplace, Poisson, Green og Dirichlet. I dag har potensialteori tette forbindelser til kompleks analyse, sannsynlighet (potensialteori i relasjon til Brownian bevegelse og Markov-prosesser) og numeriske metoder som boundary-integralteknikker.

Anvendelser: løsning av grenseverdi-problemer i fysikk og ingeniørfag, beregning av elektriske og gravitasjonsfelt, akustikk, geovitenskap og ulike numeriske tilnærminger for feltberegninger.