Laplaceoperatoren

Der Laplaceoperator, oft als Δ bezeichnet, ist ein zweiter, linearer Differentialoperator, der die Divergenz des Gradienten einer Funktion f bildet: Δf = ∇·∇f. In kartesischen Koordinaten von R^n erhält man Δf = ∑_{i=1}^n ∂^2 f/∂x_i^2. Für drei Dimensionen lautet Δf = ∂^2 f/∂x^2 + ∂^2 f/∂y^2 + ∂^2 f/∂z^2.

Eine Funktion, die Δf = 0 erfüllt, heißt harmonisch. Harmonic functions besitzen das Mittelwert-Eigenschaft, erfüllen das Maximum-Minimum-Prinzip und erscheinen in der Potentialtheorie, der Elektrostatik und der Fluiddynamik.

Zeitabhängige PDEs verwenden den Laplaceoperator: Die Wärme- bzw. Diffusionsgleichung ∂_t u = κ Δu beschreibt die Ausbreitung von Wärme, während die Wellengleichung ∂_t^2 u = c^2 Δu die Ausbreitung von Wellen in homogenen Medien beschreibt.

Im Frequenzraum entspricht Δ der Multiplikation mit -|ξ|^2, was Analysen über die Fouriertransformation erleichtert. Allgemein gilt der Operator als Laplace-Beltrami-Operator auf Riemann-Mannigfaltigkeiten, definiert als Δ_g f = div_g(grad_g f).

Diskrete Versionen des Operators entstehen im Graphen-Kontext. Der Graphen-Laplace-Operator L = D − A besitzt Eigenwerte und spielt eine zentrale Rolle in der Spektralgraphentheorie.

Anwendungen finden sich in Physik (Elektrostatik, Quantenmechanik), Ingenieurwesen, Bildverarbeitung (Kantenglättung, Laplacian-Filter), Computergraphik sowie in der mathematischen Analysis.