polynomiyhtäliöihin

Polynomiyhtälö on yhtälö, jossa yhden tai useamman muuttujan lausekkeet ovat polynomiaalisia. Yleisimmässä muodossaan polynomiyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, missä $x$ on tuntematon muuttuja ja $a_0, a_1, \dots, a_n$ ovat kertoimia. $n$ on polynomin aste, joka on korkein muuttujan eksponentti, jolla on nollasta poikkeava kerroin.

Yhtälön ratkaisuja, eli niitä muuttujan $x$ arvoja, jotka toteuttavat yhtälön, kutsutaan juuriksi. Polynomiyhtälön juurten lukumäärä on korkeintaan yhtä suuri kuin sen aste. Algebran peruslauseen mukaan jokaisella $n$-asteen polynomiyhtälöllä, jonka kertoimet ovat kompleksilukuja, on täsmälleen $n$ kompleksista juurta, kun juuret lasketaan kertaluvun mukaan.

Polynomiyhtälöiden ratkaisumenetelmät vaihtelevat niiden asteen mukaan. Ensimmäisen asteen yhtälöt, eli lineaariset yhtälöt, ratkeavat yleensä suoraviivaisesti. Toisen asteen yhtälöille, eli neliöyhtälöille, on olemassa yleinen ratkaisukaava. Korkeamman asteen yhtälöille ei yleensä ole olemassa yleisiä algebrallisia ratkaisukaavoja, ja niiden ratkaisemiseen käytetään usein numeerisia menetelmiä tai erikoistapauksia hyödyntäviä tekniikoita. Polynomiyhtälöitä esiintyy monilla matematiikan ja tieteen aloilla, kuten fysiikassa, insinööritieteissä ja taloustieteessä.