Polynomiyhtälön

Polynomiyhtälö on yhden muuttujan polynomista koostuva yhtälö, jossa tuntematon x esiintyy polynomissa P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 ja jossa leading coefficient a_n ≠ 0. Yhtälö P(x) = 0 on ratkaistava ja sen ratkaisut ovat polynomin nollakohdat.

Ratkaisujen luonne riippuu polynomin asteesta. Realiluvut voivat antaa nollia 0, 1 tai useampia; monien nollien lukumäärä voi kasvaa kertolaskujen mukaan. Alkukäsityksen mukaan jokaisella polynomilla on kuitenkin kokonaismäärä n kompleksijuuria, kun juuret lasketaan kertoloitteina, mikä tunnetaan algebran peruslauseen kautta.

Erityistapaukset ja menetelmät. Toisen asteen polynomiyhtälö x^2 + bx + c = 0 ratkaistaan tavallisesti neliöiden täydentämisellä tai kaavalla x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)]/(2a). Yleismääräyksiä ratkaisemiseksi käytetään usein faktoroimista, polynomin jakamista tai numeerisia menetelmiä kuten bisection (puolitse), Newtonin menetelmä tai Durand–Kernerin menetelmä monien juurien löytämiseksi.

Esimerkkejä. X^2 - 5x + 6 = 0 saa ratkaisut x = 2 ja x = 3. X^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 jakautuu (x-1)(x-2)(x-3), joten ratkaisut ovat x = 1, 2 ja 3.

Käyttökohteita. Polynomiyhtälöt esiintyvät luonnontieteissä, tekniikassa ja taloustieteissä sekä erilaisissa laskentaproblemeissa, joissa ilmiöt mallinnetaan polynomifunktioiden nollakohtien avulla.