perusrotaatiomatriisia

Perusrotaatiomatriisi on matriisi, jota käytetään lineaarialgebrassa kuvaamaan rotaatiota koordinaattiakselien ympäri. Tällainen matriisi on neliömatriisi, jonka koko riippuu tarkasteltavan avaruuden ulottuvuudesta. Yleisimmin perusrotaatiomatriisia käsitellään kaksi- ja kolmiulotteisissa avaruuksissa.

Kahdessa ulottuvuudessa, kuvaamaan rotaatiota origon ympäri tasossa kulman θ verran vastapäivään positiivisen x-akselin suunnasta, perusrotaatiomatriisi on muotoa:

[ cos(θ) -sin(θ) ]

[ sin(θ) cos(θ) ]

Kun tätä matriisia kerrotaan pisteen (x, y) koordinaatteja vastaavalla vektorilla, saadaan pisteen uudet koordinaatit rotaation jälkeen.

Kolmessa ulottuvuudessa on kolme erilaista perusrotaatiomatriisia, jotka kuvaavat rotaatiota x-, y- ja z-akselien ympäri. Esimerkiksi rotaatio x-akselin ympäri kulman θ verran on:

[ 1 0 0 ]

[ 0 cos(θ) -sin(θ) ]

[ 0 sin(θ) cos(θ) ]

Vastaavat matriisit saadaan vastaavilla kaavoilla y- ja z-akselien rotaatioille, missä cos(θ) ja -sin(θ) sijoittuvat eri paikkoihin matriisissa. Perusrotaatiomatriiseja käytetään laajalti esimerkiksi tietokonegrafiikassa, fysiikassa ja robotiikassa, missä on tarpeen muuttaa objektien asentoa tai suuntaa avaruudessa. Ne ovat keskeinen työkalu kolmiulotteisen geometrian manipuloinnissa.