Perusrotaatiomatriiseja

Perusrotaatiomatriisit ovat neliömatriiseja, jotka vastaavat geometrista kiertoa euklidisessa avaruudessa. Ne ovat olennainen osa lineaarialgebraa ja niitä käytetään laajalti tietokonegrafiikassa, fysiikassa ja robotiikassa. Yleisimmin perusrotaatiomatriiseja tarkastellaan kaksi- ja kolmiulotteisissa avaruuksissa.

Kaksiulotteisessa avaruudessa rotaatiomatriisi, joka kiertää pistettä kulman θ verran vastapäivään origon ympäri, on muotoa:

[[cos(θ), -sin(θ)],

[sin(θ), cos(θ)]]

Tämä matriisi operoi vektorin (x, y) kanssa tuloksena uusi vektori (x', y'), jossa x' = x cos(θ) - y sin(θ) ja y' = x sin(θ) + y cos(θ).

Kolmiulotteisessa avaruudessa on kolme perusrotaatiomatriisia, jotka vastaavat kiertoa kunkin koordinaattiakselin (x, y, z) ympäri. Rotaatio x-akselin ympäri kulmalla θ on:

[[1, 0, 0],

[0, cos(θ), -sin(θ)],

[0, sin(θ), cos(θ)]]

Vastaavasti y- ja z-akselien ympäri tapahtuvat rotaatiot saadaan permutoimalla ja muuttamalla merkkejä matriisin elementtejä. Perusrotaatiomatriiseilla on useita tärkeitä ominaisuuksia, kuten ne ovat ortogonaalisia matriiseja, mikä tarkoittaa, että niiden käänteismatriisi on sama kuin niiden transpoosi. Tämä ominaisuus säilyttää vektorin pituuden rotaation aikana. Rotaatioiden yhdistelmät saadaan matriisikertolaskulla.