Rotaatioiden

Rotaatiot ovat etäisyyksiä ja kulmia säilyttävää geometriaa, jossa kappale tai koordinaatisto kiertyy tietyn akselin ympäri. Ne kuvaavat uuden asennon saamista ilman muunnoksia mittasuhteisiin tai peilaukseen liittyen. Rotaatiot ovat orientaatioita säilyttäviä transformaatiota ja ovat keskeisiä sekä teoreettisessa että soveltavassa geometriassa.

2D-tilassa rotaatio kuvaa pistejoukon kiertämistä origon ympäri yhdellä kulmalla θ. Matriisiesitys on R(θ) = [[cosθ, −sinθ], [sinθ, cosθ]], ja yksi kierto vastaa toisen kierron jälkeen kulman summaamista. 3D-tilassa rotaatio voi kiertää ympäri valittua akselia, ja se määritellään akselin suuntan v̂ ja kulman θ avulla. Yleisesti 3D-rotatsiot muodostavat rotaatioiden ryhmän SO(3).

Rotaatiot voidaan esittää useilla eri tavoilla: axis–angle (akseli ja kulma), Eulerin kulmat, tai kvaternikkeina (quaternionit). Algebraisesti rotaatiot toimivat lineaarisina, ortogonaalisina matriiseina, joiden determinantti on 1. Kaikissa ulottuvuuksissa rotaatioiden johtama muunnos säilyttää etäisyydet, ja kahden rotaation jälkeen tulos on toinen rotaatio; käänteinen muunnos vastaa kiertoa samaa akselia vastaan negatiivisella kulmalla. Rodriguesin kaava antaa käytännön tavan rakentaa 3D-rotation matriisi akseli v̂ ja kulma θ: R(v̂, θ) = I + sinθ K + (1 − cosθ) K^2, missä K on v̂:n ristiversio matriisina.

Sovelluksia on monia: tietokonegrafiikka ja animaatio, robotiikka ja ohjaus, avaruus- ja ilmailutekniikka sekä fysikaaliset mallit ja kidekasvatus. Euler- kulmat voivat aiheuttaa gimbal-lockin, jota quaternionit ja muut parametrizoinnit auttavat välttämään.