Matriisiesitys

Matriisiesitys on lineaarialgebran käsite, jossa lineaarinen muunnos T: V → W esitetään matriisina valittujen perusvektoreiden suhteen. Oletetaan, että V on n-ulotteinen ja W on m-ulotteinen, ja valitsemme perusjoukot B = {v1, ..., vn} sekä C = {w1, ..., wm}. T:n matriisi A suhteessa näihin perusjoukkoihin täytyy täyttää T(vi) = ∑_{j=1}^m a_{ji} w_j jokaiselle i = 1,...,n, ja A:n sarakkeet muodostuvat näiden koordinaattien sarakkeista.

Näin A on m×n-kokoinen matriisi. T:n vaikutus koordinaattien kautta on [T(x)]_C = A [x]_B kaikille x ∈ V, jolloin T:n toiminta voidaan laskea pelkällä matriisilla ja koordinaattiluvuilla.

Standardiperusjoukkoihin liittyen, jos B ja C ovat standardiperusjoukkoja, A on T:n tavallinen matriisi, jonka i:n sarake vastaa T(v_i) koordinaatteina basis C:ssa.

Muutos basis -tilanteissa matriisiesitys muuttuu, kun valitaan uudet perusjoukot B' ja C'. Tällöin A' = P^{-1} A Q, jossa Q on muutosmatriisi B' ja B välillä sekä P on muutosmatriisi C ja C' välillä.

Esimerkki: T: R^2 → R^2, T(x,y) = (2x + y, x − 3y). Standardiperusjoukon kanssa matriisi on A = [[2, 1], [1, −3]]. Matriisiesitys mahdollistaa T:n analyysin ja laskelmat koordinaattijärjestelmän perusteella sekä vaihtelua perusjoukoissa.