Perusrotaatiomatriiseilla

Perusrotaatiomatriisit ovat neliömatriiseja, jotka vastaavat geometrista operaatiota, rotaatiota eli kiertoa tietyn akselin ympäri avaruudessa. Ne ovat keskeisiä työkaluja lineaarialgebrassa ja sovelletaan laajasti esimerkiksi tietokonegrafiikassa, fysiikassa ja robotiikassa.

Kaksiulotteisessa tasossa perusrotaatiomatriisi, joka kiertää pistettä kulman $\theta$ verran vastapäivään positiivisen x-akselin suhteen, on muotoa:

[[cos $\theta$, -sin $\theta$], [sin $\theta$, cos $\theta$]]

Tätä matriisia käyttämällä voidaan laskea vektorin uudet koordinaatit kierto-operaation jälkeen.

Kolmiulotteisessa avaruudessa rotaatiot ovat monimutkaisempia, ja ne voidaan määritellä minkä tahansa akselin ympäri. Yleensä käytetään rotaatiomatriiseja x-, y- ja z-akselien ympäri. Esimerkiksi rotaatiomatriisi z-akselin ympäri kulmalla $\theta$ on:

[[cos $\theta$, -sin $\theta$, 0], [sin $\theta$, cos $\theta$, 0], [0, 0, 1]]

Vastaavat matriisit x- ja y-akselien kiertoihin voidaan johtaa samalla periaatteella.

Perusrotaatiomatriiseilla on useita tärkeitä ominaisuuksia. Ne ovat ortogonaalisia matriiseja, mikä tarkoittaa, että niiden käänteismatriisi on sama kuin niiden transpoosi. Tämä säilyttää vektorin pituuden, eli rotaatiot eivät muuta objektien kokoa. Ne ovat myös determinantiltaan 1, mikä viittaa siihen, että ne säilyttävät orientaation ja tilavuuden. Yhdistämällä useita perusrotaatiomatriiseja peräkkäin voidaan luoda monimutkaisempia rotaatioita eri akseleiden yhdistelmien ympäri.