perusrotaatiomatriisi

Perusrotaatiomatriisi on lineaarialgebrassa käytetty matriisi, joka kuvaa geometrista operaatiota eli rotaatiota. Se edustaa kaksi- tai kolmiulotteisen avaruuden pistettä tai vektoria kääntämistä tietyn kulman verran origon ympäri. Rotaatiomatriisit ovat ortogonaalisia matriiseja, mikä tarkoittaa, että niiden transpoosi on sama kuin niiden käänteismatriisi, ja niiden determinantti on aina 1.

Kaksiulotteisessa tasossa perusrotaatiomatriisi kulmalle $\theta$ on muotoa:

$ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $

Kun tämä matriisi kerrotaan pisteen $(x, y)$ koordinaattivektorilla $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, saadaan uuden pisteen $(x', y')$ koordinaatit, jotka vastaavat alkuperäisen pisteen kääntämistä kulman $\theta$ verran.

Kolmiulotteisessa avaruudessa rotaatiomatriiseja on useita riippuen siitä, minkä akselin suhteen rotaatio tapahtuu. Tyypillisiä esimerkkejä ovat rotaatiot x-akselin, y-akselin ja z-akselin ympäri. Esimerkiksi rotaatiomatriisi z-akselin ympäri kulmalla $\theta$ on:

$ R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $

Rotaatiomatriiseilla on laajoja sovelluksia tietokonegrafiikassa, robotiikassa, fysiikassa ja monilla muilla tieteenaloilla, joissa käsitellään kappaleiden orientaatiota ja liikettä avaruudessa.