osittaisdifferentialyhtälöissä

Osittaisdifferentialyhtälöt (PDE:t) ovat differentiaaliyhtälöitä, joissa tuntematon riippuu useammasta muuttujasta ja joissa esiintyvät osittaisderivaatat näistä muuttujista. Yleensä riippuva muuttuja u = u(x1, x2, ..., xn, t) kuvaa tilanmuutosta sekä ajassa että tilassa. PDE:t kuvaavat monenlaisia ilmiöitä, kuten lämmönjohtumista, diffuusiota, värähtelyä sekä sähkö- ja magneettikenttien vasteita.

Yhtälöiden luokitus perustuu useisiin kriteereihin. Lineaariset PDE:t muodostuvat lineaarisista osittaisderivaattoja sisältävistä termeistä, kun taas ei-lineaarisissa ilmene entistä monimutkaisempaa vuorovaikutusta. Järjestyksen mukaan tutkitaan ensikertaa-, toista- tai korkeampajakoisia osittaisderivaattoja. Tyypin mukaan PDE:t jaetaan tavallisesti elliptisiin, parabolisiin ja hyperbolisiin riippuen johtojensa matemaattisista ominaisuuksista ja ratkaisuissa ilmenevästä äärellisestä käyttäytymisestä.

Ratkaisujen käsittely eroaa tapauksesta riippuen. Klassinen ratkaisu on silloin, kun u on riittävästi säännöllinen. Monissa tapauksissa ratkaisuja määritellään heikkoina tai jakaelumallien kautta (distribuutionaaliset ratkaisut). Reunaehdot ja alkuarvot ovat keskeisiä: Dirichlet- ja Neumann-tyyppiset reunaehdot sekä Robin-ehdot, sekä mahdolliset alkuarvot t = 0 etenemiseen liittyvissä aikadynamiikan ongelmissa.

Esimerkkejä PDE:n tyypeistä ovat Laplace’n yhtälö (elliptinen, ∇²u = 0), lämpöyhtälö (parabolinen, ∂u/∂t = κ∇²u) sekä aaltoyhtälö (hyperbolinen, ∂²u/∂t² = c²∇²u). Ratkaisuihin käytetään sekä analyyttisiä menetelmiä (erottelu, Fourier- ja Laplace-muunnokset, Greenin funktiot) että numeerisia menetelmiä (erotusmenetelmät, finite difference, finite element). PDE:t ovat keskeisiä monien alojen mallinnuksessa, kuten fysiikassa, tekniikassa, biologiassa ja rahoituksessa.