Laplacemuunnokset

Laplacemuunnokset, eli Laplace-muunnokset, ovat integraalimuunnoksia, jotka muuttavat ajassa tapahtuvan funktion kompleksiseen taajuustilaan. Niitä käytetään erityisesti lineaaristen, vakavasti kondukoituvien järjestelmien analysoinnissa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Määritelmä: Jos f(t) määritellään t ≥ 0, sen Laplacen muunnos on F(s) = ∫_0^∞ e^(−st) f(t) dt, jossa s on kompleksiluku s = σ + iω. Muunnoksen määritelmä pätee parittaisille ja eksponentiaaliseen kasvuun rajoittuville funktioille, ja sen alueen konvergenssi (ROC) määrittelee s-alueen, jolle integraali converge.

Käänteinen muunnos: f(t) voidaan palauttaa kääntämällä F(s) t:lle seuraavasti: f(t) = (1/2πi) ∫_{γ−i∞}^{γ+i∞} e^(st) F(s) ds, missä γ valitaan ROC:n sisään.)

Ominaisuudet: Lineaarisuus; aikasiirtö (L{f(t−a)u(t−a)} = e^(−as)F(s)); taajuusiirtö (L{e^(at)f(t)} = F(s−a)); derivaatan kohdalla L{f′(t)} = sF(s) − f(0+) ja pidättyväisyyden L{∫_0^t f(τ)dτ} = F(s)/s. Initial- ja final-value -lauseet antavat rajapintoja alku- ja pitkän aikavälin arvoille.

Esimerkkejä: f(t) = 1 → F(s) = 1/s; f(t) = e^(at) → F(s) = 1/(s−a) (Re(s) > Re(a)); f(t) = sin(bt) → F(s) = b/(s^2 + b^2) (Re(s) > 0).

Sovellukset: Diferentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen, lineaaristen järjestelmien transferifunktioiden analyysi, signaalin käsittely, kontrolliteoria sekä sähkö- ja mekaaniset järjestelmät. Liittymä Fourierin muunnokseen: asettamalla s = iω Laplacen muunnos muistuttaa Fourier-muunnosta, mutta se toimii myös kasvavien tai nopeasti muuttuvien funktioiden kanssa.

Historia: Muunnosta kehitti Pierre-Simon Laplacea hyödyntäen matemaattisen fysiikan ongelmiin; se on sittemmin vakiintunut työkalu tekniikassa ja matematiikassa.