aaltoyhtälö

Aaltoyhtälö, eli wave equation, on yleinen toisen kertaluvun osittaisjohdannaishyöte, joka kuvaa aaltoliikkeen etenemistä yleisesti jatkuvassa mediana. Se on lineaarinen hyperbolinen PDE, ja sen ratkaisut kuvaavat esimerkiksi ääniaaltojen, sähkömagneettisten aaltojen tai elastisten aaltojen kulkua.

Yleiseen muotoon eristetty1D-tilanteen kohdalla, missä aikakaava u(x,t) on tuntemus, aaltoyhtälö kirjoitetaan muotoon ∂^2u/∂t^2 = c^2 ∂^2u/∂x^2, jossa c on aaltojuoksutuskulku tai aallon nopeus medioissa. Kolmessa tilassa homogeenisessä, isotrooppisessa mediana aaltoyhtälö on ∂^2u/∂t^2 = c^2 ∇^2u, eli ∇^2u - (1/c^2)∂^2u/∂t^2 = 0. Monimutkaisemmissa medioissa nopeus c voi riippua sijainnista, jolloin muodostuu yleisempi muoto ∂^2u/∂t^2 = ∇·(c^2(x)∇u).

Ratkaisumenetelmät: yhdessä ulottuvuudessa voidaan käyttää D'Alembertin ratkaisua u(x,t) = f(x−ct) + g(x+ct). Useat menetelmät, kuten erottelu ja Fourier-muunnokset sekä Greenin funktiot, antavat ratkaisun monimutkaisemmille geometioille ja reunaehtosuhteille.

Sovellukset: aaltoyhtälö mallintaa ääni-, elektromagneettisia- ja elastisia aaltoja sekä seismisiä aaltoja. Sähkömagnetismin tapauksessa E- ja B- kentät täyttävät vastaavat wave-yhtälöt eristetyissä medioissa. Julkisuudeltaan yhtälö korostaa väliaikaisen tiedon ja vuorovaikutusten nopean vaikutuksen rajoja.

Historia: yhdenulotteinen muoto havaittiin D'Alembertin toimesta 1700-luvulla; myöhemmin laajennettiin kolmiulotteisiksi ja monimutkaisemmiksi medioiksi, mikä teki siitä keskeisen työkalun fysiikassa ja tekniikassa.