osittaisdifferentiaaliyhtälöillä

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt (PDE:t) ovat matemaattisia malleja, joissa tuntematon riippuva funktio u(x1, x2, ..., xn) esiintyy useamman kuin yhden muuttujan osittaisderivaatioiden yhteydessä. Yhtälön korkein derivaatan kertaluku määrittää sen järjestyksen. PDE:t voivat olla lineaarisia tai ei-lineaarisia sekä homogeenisia että inhomogeeneja; niillä kuvataan muutoksia sekä tilan että ajan suhteen.

Toisen kertaluvun PDE:t jaetaan yleensä kolmeen päätyyppiin: elliptiset, paraboliset ja hyperboliset. Elliptiset yhtälöt, kuten Laplace'n yhtälö ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0, mallintavat staattisia tiloja. Paraboliset yhtälöt, kuten lämpö- tai diffuusiYhtälö ∂u/∂t = κ∇²u, kuvaavat ajan kuluessa tapahtuvaa tasapainottumista. Hyperboliset yhtälöt, kuten aaltoliike ∂²u/∂t² = c²∇²u, liittyvät väliaikaisiin tapahtumiin ja aaltoihin. Yleisesti luokittelu perustuu pääosan (principal part) kertoimien allekkain rakenteeseen.

Ratkaisut PDE:ille voivat olla analyyttisiä tai numeerisia. Analyyttisissä ratkaisuissa käytetään kuten erottelua muuttujien mukaan, Fourier- tai Laplace-muunnoksia sekä Greenin funktioita. Hyperbolisten ja muiden luokkien ongelmiin sovelletaan usein karakteristikoiden menetelmää. Numeeriset menetelmät, kuten erottelupohjaiset finite difference -menetelmät ja finite element -menetelmät, mahdollistavat ratkaisujen saamisen monimutkaisissa geometrioissa ja epälineaarisissa tilanteissa.

Käyttökohteita ovat fysiikka, tekniikka, lämpö- ja aineensiirtoprosessit, aerodynamiikka, biologia sekä finanssiala (esimerkiksi Black–Scholesin PDE). Ongelman hyvin- asetukset (rajat ja alkuarvot) sekä määritellyt rajakäytökset ovat keskeisiä ratkaisutavassa.

Historian taustalla ovat 1700–1800-luvujen matemaatikot, kuten d’Alembert, Laplace ja Poisson, jotka kehittivät ja systematisoivat PDE:iden teoriat ja ratkaisut. PDE:t ovat siten keskeinen väline kuvaamaan monimutkaisia muutoksia luonnossa ja tekniikassa.