osittaisderivaatioiden

Osittaisderivaatioiden tarkoitetaan usean muuttujan funktioiden derivaattoja yhden muuttujan suhteen pitäen muut muuttujat vakioina. Funktion f(x1, ..., xn) i:s osittaisderivaatta pisteessä x ilmaistaan yleisesti merkinnällä ∂f/∂xi, f_xi tai Di f ja määritellään raja-arvona, jossa muut koordinaatit pidetään kiinteinä.

Osittaisderivaatat kuvaavat paikallista herkkyyttä eri muuttujien suuntaan ja ovat perusrakenne gradientin, Jacobin ja Hessin-matriisin muodostamisessa. Gradientti on kollektion ensimmäisen asteen osittaisderivaattoja ja Hessin-matriisi sisältää toisen kertaluvun osittaisderivaatat.

Sekaderivaattojen järjestyksen vaihtaminen johtaa usein samoihin arvoihin: Clairautin lauseen mukaan, jos toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia ympäristössä, niin f_xy = f_yx. Korkeamman kertaluvun osittaisderivaatat määritellään toistamalla perusmääritelmä.

On tärkeää erottaa osittaisderivaattojen olemassaolo ja funktion kokonaisderivoituvuus: osittaisderivaatat voivat olla olemassa ilman, että funktio on derivoituva kokonaismuuttujan suhteen tai että se on jatkuva. Kokonaisderivoi­tuvuus edellyttää lineaarista approksimaatiota, joka yhdistää kaikkien osittaisderivaattojen vaikutuksen.

Osittaisderivaatot ovat keskeisiä matematiikassa ja sovelluksissa, kuten differentiaaliyhtälöissä, optimoinnissa, monimuotoisuus- ja analyysiteoriassa sekä fysiikassa ja insinööritieteissä, joissa ne kuvaavat paikallisia muutosnopeuksia ja virtoja.