Osittaisderivaatat

Osittaisderivaatat ovat keskeinen käsite moniulotteisessa laskennassa. Ne mittaavat funktion muutosnopeutta yhden muuttujan suhteen, kun kaikki muut muuttujat pidetään vakiona. Jos meillä on funktio $f(x, y)$, sen osittaisderivaatta $x$:n suhteen merkitään usein $\frac{\partial f}{\partial x}$ tai $f_x$. Kun laskemme $\frac{\partial f}{\partial x}$, käsittelemme $y$:tä vakiona ja derivoimme funktion $f$ vain $x$:n suhteen. Vastaavasti, osittaisderivaatta $y$:n suhteen, merkitään $\frac{\partial f}{\partial y}$ tai $f_y$, lasketaan pitämällä $x$ vakiona.

Osittaisderivaattoja käytetään monilla tieteenaloilla, kuten fysiikassa, taloustieteessä ja koneoppimisessa. Esimerkiksi fysiikassa lämpötilan tai paineen muutoksia monimutkaisissa järjestelmissä voidaan kuvata osittaisderivaattojen avulla. Taloustieteessä kuluttajien käyttäytymisen analysoinnissa voidaan tarkastella, miten yhden hyödykkeen hinnan muutos vaikuttaa toisen hyödykkeen kysyntään, kun muut tekijät pysyvät samana. Koneoppimisessa osittaisderivaatat ovat perustana optimointialgoritmeille, kuten gradienttilaskulle, jota käytetään mallien parametrien säätämiseen.

Toisen kertaluvun osittaisderivaatat saadaan derivoimalla osittaisderivaatta uudelleen. Esimerkiksi $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ on funktion $f$ toisen kertaluvun osittaisderivaatta $x$:n suhteen. Sekalaiset osittaisderivaatat, kuten $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$, lasketaan derivoimalla ensin yhden muuttujan ja sitten toisen muuttujan suhteen. Jatkuvasti differentioituvilla funktioilla Clairaut'n lause takaa, että sekalaiset osittaisderivaatat ovat samat riippumatta derivointijärjestyksestä, eli $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$.