ortonormaalijärjestelmäksi

Ortogonaalinen järjestelmä on joukko vektoreita, jotka ovat keskinään kohtisuorassa. Toisin sanoen, jokaisen vektoriparin sisätulo on nolla. Jos tässä joukossa olevat vektorit ovat lisäksi yksikkövektoreita, eli niiden pituus on yksi, järjestelmää kutsutaan ortonormaaliksi järjestelmäksi. Ortogonaalisten ja ortonormaalien järjestelmien käsite on keskeinen monilla matematiikan ja fysiikan aloilla, kuten lineaarialgebrassa, Fourier-analyysissä ja kvanttimekaniikassa.

Ortonormaali järjestelmä yksinkertaistaa monia laskutoimituksia. Esimerkiksi vektorin esittäminen ortonormaalin kannan avulla on suoraviivaista. Jos meillä on ortonormaali kanta {e1, e2, ..., en} ja vektori v, niin v voidaan kirjoittaa v = c1*e1 + c2*e2 + ... + cn*en, missä kertoimet ci saadaan laskemalla v:n sisätulo kantaelementin ei kanssa: ci = v . ei. Tämä ominaisuus tekee ortonormaaleista kannoista erittäin käteviä sovelluksissa.

Euklidisessa avaruudessa Rn ortonormaali kanta muodostuu vektoreista, jotka ovat keskenään kohtisuorassa ja joiden pituus on yksi. Tunnetuin esimerkki on standardikanta, joka koostuu vektoreista (1,0,0,...), (0,1,0,...), ..., (0,0,...,1). Jokainen vektori tässä kannassa on ortogonaalinen kaikkien muiden kanssa ja sen pituus on 1. Hilbertin avaruuksissa ortonormaalilla systeemillä on samankaltaisia, mutta yleisempiä ominaisuuksia.

---