orientierbarkeit
Orientierbarkeit bezeichnet in der Geometrie und Topologie die Eigenschaft einer glatten Mannigfaltigkeit, eine konsistente Orientierung ihrer Tangentialräume zu ermöglichen. Formal ist eine Mannigfaltigkeit M orientierbar, wenn an jedem Punkt p der Tangentialraum TpM eine Orientierung gewählt werden kann, die sich kontinuierlich über ganz M fortführt. Eine äquivalente Beschreibung nutzt einen Atlas von Koordinatencharts, bei dem alle Übergangsabbildungen eine positive Determinante haben. Alternativ lässt sich dies durch eine globale Volumenform ausdrücken: Es existiert eine nowhere-vanishing Differentialform des höchsten Grades auf M. Ebenso ist das Tangentialbündel TM orientierbar; das TM besitzt dann eine Orientierung als orientierbares Vektor-Bündel. Diese Äquivalenzen lassen sich durch die Bedingung fassen, dass die erste Stiefel-Whitney-Klasse w1(TM) verschwindet. M ist genau dann orientierbar, wenn w1(TM) = 0.
Aus Orientierbarkeit folgt, dass Integrale von top-Formen über M eindeutig definiert werden können. Für zweidimensionale Flächen
Beispiele orientierbarer Flächen sind S^2, der Torus und Flächen mit beliebigem Genus g. Nicht-orientierbare Beispiele umfassen