Orientierbarkeit

Orientierbarkeit bezeichnet in der Geometrie und Topologie die Eigenschaft einer glatten Mannigfaltigkeit, eine konsistente Orientierung ihrer Tangentialräume zu ermöglichen. Formal ist eine Mannigfaltigkeit M orientierbar, wenn an jedem Punkt p der Tangentialraum TpM eine Orientierung gewählt werden kann, die sich kontinuierlich über ganz M fortführt. Eine äquivalente Beschreibung nutzt einen Atlas von Koordinatencharts, bei dem alle Übergangsabbildungen eine positive Determinante haben. Alternativ lässt sich dies durch eine globale Volumenform ausdrücken: Es existiert eine nowhere-vanishing Differentialform des höchsten Grades auf M. Ebenso ist das Tangentialbündel TM orientierbar; das TM besitzt dann eine Orientierung als orientierbares Vektor-Bündel. Diese Äquivalenzen lassen sich durch die Bedingung fassen, dass die erste Stiefel-Whitney-Klasse w1(TM) verschwindet. M ist genau dann orientierbar, wenn w1(TM) = 0.

Aus Orientierbarkeit folgt, dass Integrale von top-Formen über M eindeutig definiert werden können. Für zweidimensionale Flächen bedeutet Orientierbarkeit, dass man global zwischen einer rechten und einer linken Orientierung unterscheiden kann, ohne beim Umlaufen eines Weges die Orientierung zu invertieren.

Beispiele orientierbarer Flächen sind S^2, der Torus und Flächen mit beliebigem Genus g. Nicht-orientierbare Beispiele umfassen Möbiusband, die Kleinflasche und RP^2 (Projektive Ebene). Die Orientierbarkeit hat praktische Bedeutung für Integration, Geometrie und Physik, da sie die Definition globaler Orientierungen und damit eindeutige Integrale ermöglicht. Für nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten existieren oft orientierbare Doppelüberdeckungen, über die sich orientierbare Strukturen indirekt rekonstruieren lassen.