nonorientierbar

Nicht orientierbar bezeichnet in der Geometrie und Topologie eine Fläche oder Mannigfaltigkeit, auf der sich global keine Orientierung wählen lässt. Eine Orientierung ist eine konsistente Wahl einer Richtung der Tangentialräume, die sich stetig über die gesamte Fläche fortführen lässt. Existiert eine solche globale Orientierung nicht, ist die Fläche nicht orientierbar; andernfalls ist sie orientierbar.

Als anschauliche Beispiele gelten der Möbiusband, die reale projektive Ebene RP^2 und die Kleinsche Flasche. Das Möbiusband ist eine eindimensionale Randfläche, die nicht orientierbar ist. Die reale projektive Ebene RP^2 ist eine geschlossene, nicht-orientierbare Fläche. Die Kleinsche Flasche ist ebenfalls nicht orientierbar und lässt sich als Vereinigung zweier RP^2 verstehen; sie hat keinen Rand und kann in drei Dimensionen nicht ohne Selbstdurchdringung realisiert werden.

Klassifikation und Bauprinzipien: Jedes kompakte, zusammenhängende Flächenobjekt ist entweder orientierbar oder nicht-orientierbar. Nicht-orientierbare Flächen lassen sich als zusammenhängende Summe von k Kopien der projektiven Ebene darstellen, bezeichnet als N_k, wobei k = 1 RP^2, k = 2 die Kleinsche Flasche ergibt und k ≥ 3 weitere Beispiele liefert. Der nicht-orientierbare Genus k ist eng verknüpft mit der Euler-Charakteristik χ = 2 − k. Damit bietet die Theorie eine systematische Einordnung nicht-orientierbarer Flächen nach ihrer Komplexität.