nierównociami

Nierównościami w matematyce nazywa się relacje porównujące dwie wartości, w których jedna z nich nie musi być równa drugiej. Najczęściej stosuje się znaki: < (mniejsze niż), ≤ (mniejsze lub równe), > (większe niż), ≥ (większe lub równe).

Wyróżnia się nierówności liniowe, kwadratowe i wielomianowe; rozróżnia się nierówności ścisłe (znaki < i >) od nierówności nieścisłych (≤ i ≥). W kontekście liczb rzeczywistych rozwiązywanie polega na wyznaczeniu zbioru wartości spełniających warunek; w przypadku wielu nierówności pojawia się także podział na przedziały.

Zasady operacyjne: dodawanie lub odejmowanie obu stron nierówności nie zmienia kierunku; mnożenie lub dzielenie przez dodatnią liczbę również nie; mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną odwraca kierunek nierówności. Często stosuje się także rozdzielanie na czynniki i analizę znaków wyrażeń. W praktyce rozwiązywanie nierówności polega na dochodzeniu do zbioru dopuszczalnych wartości, który może być przedziałem na osi liczbowej.

Przykłady powszechnych nierówności: nierówność trójkąta |a + b| ≤ |a| + |b|; nierówność Cauchy’ego–Schwarz |⟨x, y⟩| ≤ ||x|| · ||y||; nierówność AM-GM dla nieujemnych a, b: a + b ≥ 2√(ab).

Zastosowania nierówności obejmują szacowanie ograniczeń w analizie matematycznej, optymalizacji, geometrii i statystyce. Nierówności dostarczają narzędzi do oszacowań, dowodów i analizy granic.