måttteoretiska

Måttteori, eller måttteoretiska metoder, är en gren av matematisk analys som studerar mått, måttutrymmen och integration. Grunden utgörs av ett måttutrymme (X, Σ, μ), där Σ är en σ-algebra av delmängder av X och μ är ett mått som tilldelar varje delmängd ett icke-negativt tal. En funktion f: X → ℝ är mätbar om den är Σ-mätbar, och man kan definiera Lebesgue-integralen ∫ f dμ. Måttteorin möjliggör konstruktion av mått genom Carathéodorys utvidgning och ger upphov till Lebesgue-mått, till exempel Lebesgue-måttet på ℝ^n.

Viktiga begrepp inkluderar konvergens och Lp-utrymmen. Central i teorin är analys av integration och konvergens över måttutrymmen. Viktiga resultat inkluderar monotone convergence, dominated convergence samt Tonelli- och Fubini-satsen, som hanterar gränser och produktion av mått. Måttteorin utgör en grundläggande byggsten i sannolikhetsteori, där sannolikheter ses som speciella mått, och i funktionell analys där Lp-utrymmen och gränsvärden studeras.

Historiskt utvecklades måttteorin i första hand av Henri Lebesgue genom Lebesgue‑integration, medan Carathéodorys konstruktion lade grunden för den allmänna måttteorin i början av 1900-talet. Idag används måttteori brett inom matematiken och i tillämpningar inom statistik, dynamiska system och harmonisk analys.