mängdlära

Mängdlära, eller set theory, är en gren av matematisk logik som studerar mängder — samlingar av objekt definierade på ett sätt att de kan behandlas som en enhet. Den utgör en grundläggande teoretisk ram för mycket av modern matematik och används för att formalisera bevis och olika konstruktioner.

Historik: Under 1870- och 1880-talen introducerade Cantor begreppet mängd och kardinalitet. Naiv mängdteori ledde till paradoxen Russell, vilket visade att grundläggande antaganden behövde formuleras rigoröst. På 1900-talet utvecklades axiomatisk mängdteori; den vanligaste versionen är Zermelo-Fraenkel mängdteori med kontinuitetsaxiomet, kallad ZFC.

Grundbegrepp: En mängd är en samling objekt som kallas element. Viktiga operationer är union (∪), snitt (∩) och kraftmängd (P(A)). Medlemskap (∈) definierar relationen mellan objekt och mängder. Kardinalitet beskriver mängdens storlek, och begrepp som aleph-tal används för att ange oändligheter. Vanligtvis konstrueras även talmängder som naturliga tal och reella tal inom mängdlära eller som avledda teorier.

Axiomer och konstruktioner: Axiomen inkluderar extensionalitet, existens av tom mängd, parbildning, union, kraftmängd, oändlighet, ersättning och kontinuitet/val (AC). Dessa ramverk låter matematiker bevisa teorem över breda områden. Många viktiga resultat är oberoende av ZFC, bland annat kontinuitetshypotesen (CH).

Betydelse: Mängdlära utgör grunden för modern matematik och används inom analys, algebra, topologi och logik. Den väcker även filosofiska frågor om grundvalar. Som alternativ till mängdlära används ibland typteori eller kategoriteori, men ZFC är den vanligaste standarden.