kardinalitet

Kardinalitet er en måling af størrelsen af en mængde. Den beskrives gennem eksistensen af en bijektion mellem mængden og en anden mængde, således at to mængder har samme kardinalitet hvis der findes en bijektion mellem dem. Kardinaliteten afgør kun, hvor mange elementer der er, ikke hvilke.

Mængder kan være finite eller uendelige. En mængde er finite, hvis den kan sættes i én-til-én korrespondens med et endeligt antal naturlige tal. Ellers er den uendelig. Uendelige kardinaliteter deles ofte i tællelige og utællelige.

Eksempler: Kardinaliteten af ℕ kaldes aleph-null (ℵ0). ℤ og ℚ er også tællelige. ℝ er derimod utællelig; Cantors diagonalargument viser, at der ikke findes bijektion mellem ℕ og ℝ. Kardinaliteten af ℝ er 2^ℵ0, kaldet continuum.

To mængder har samme kardinalitet, hvis der findes en bijektion mellem dem. Ifølge Cantor-Bernstein-Schröders sætning følger det, at hvis |A| ≤ |B| og |B| ≤ |A|, så er |A| = |B|.

Kardinalaritmetik beskriver hvordan kardinaliteter kan kombineres. For uendelige kardinaliteter gælder ofte, at |A| + |B| = max(|A|,|B|) og |A| · |B| = max(|A|,|B|) under passende betingelser. 2^|A| betegner kardinaliteten af alle funktioner fra A til et binært sæt. Kontinuumhypotesen hævder, at der ikke findes en kardinal mellem ℵ0 og 2^ℵ0.

Anvendelser og betydning: Kardinalitet er et grundlæggende begreb i set-teori, logik og analyse og bruges til at forstå størrelsen af mængder i matematik og relaterede områder.