multistepmenetelmät

Multistepmenetelmät ovat numeerisia menetelmiä varten alkuarvon ongelmien ratkaisemisen differentiaaliyhtälöille, joissa ratkaisu lasketaan useamman kuin yhden aiemman näytön perusteella. Toisin kuin yksittäiseen vaiheeseen nojaavat menetelmät, multistep-menetelmät hyödyntävät sekä y_n- että f(t_n, y_n)-arvoja useammista aikaisemmista pisteistä, ja niiden yleinen lineaarinen muoto on sum_{j=0}^k a_j y_{n-j} = h sum_{j=0}^k b_j f(t_{n-j}, y_{n-j}).

Suositut perheet ovat Adams-Bashforth (eksplisiittinen, käyttää aiempia f-arvoja), Adams-Moulton (implisiittinen, voi olla yhtä tai useampaa jäsentä f_{n-j}) sekä Backward Differentiation Formulas, BDF-menetelmät (implisiittisiä differentiaaliarvojen derivaattojen taaksepäin määriteltyjä kaavoja). Yleistettynä multistep-menetelmät voivat olla joko eksplisiittisiä tai implisiittisiä, ja ne voivat saavuttaa korkeita järjestyksiä pienellä f-arvojen määrällä per askel.

Alustus on tärkeä: tarvitaan s alkuarvoa (missä s on kertaluvun tai askeleen mukaan määritelty sarjan pituus), jonka saa esimerkiksi käyttämällä yhden askeleen Runge–Kutta -menetelmää tai toista luotettavaa aloitusmenetelmää. Multistep-menetelmät voivat olla tehokkaita suurissa ongelmissa, koska ne minimoivat jokaiselle askeleelle tarvittavien f-arvojen määrää, erityisesti hyvillä järjestyksillä.

Ominaisuudet ja vakaus: konvergenssi edellyttää konsistenssia ja nolla-stabiutta; valittu menetelmä vaikuttaa tilaan A-stabiuteen ja etenkin jäykissä ongelmissa implisiittiset BDF-menetelmät ja osa Adams-Moulton -vaihtoehdoista ovat suosittuja. Muuttuva askelpituus on mahdollinen, mutta coefficientit monimutkaistuvat ja toteutus on haastavampi.

Esimerkki: Adams-Bashforth 2-askelinen eksplisiittinen kaava on y_{n+2} = y_{n+1} + h(3/2 f_{n+1} - 1/2 f_n).