multinomiallogistische

Die multinomiale logistische Regression (multinomiale Logit-Regression) ist ein statistisches Modell zur Zuordnung einer kategorialen Zielgröße Y mit mehr als zwei nicht ordinalen Kategorien zu Prädiktoren X. Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeiten P(Y=k|X) für alle Kategorien k = 1,…,K zu schätzen.

Das Modell basiert auf der Idee, die Log-Wahrscheinlichkeiten relativ zu einer Referenzkategorie linear in den Prädiktoren zu modellieren. Typischerweise wird eine Basis-Kategorie K festgelegt. Für k = 1,…,K−1 gilt: P(Y=k|X) = exp(Xβ_k) / (1 + Σ_{l=1}^{K−1} exp(Xβ_l)), und P(Y=K|X) = 1 / (1 + Σ_{l=1}^{K−1} exp(Xβ_l)). Die Parameter β_k werden so bestimmt, dass die Modellwahrscheinlichkeiten für alle Kategorien addieren und zu 1 summieren. β_k_j interpretiert man als Veränderung der log-Wahrscheinlichkeit von Kategorie k gegenüber der Referenzkategorie pro Einheit des Prädiktors j; exponentierte Koeffizienten β_k_j ergeben relative Risikoverhältnisse (oder Odds Ratios) relativ zur Referenzkategorie.

Die Schätzung erfolgt durch Maximum-Likelihood-Schätzung. Modelle werden häufig mit Wald- oder Likelihood-Ratio-Tests geprüft; Gütemaße wie Log-Likelihood, AIC/BIC und pseudo-R^2 (z. B. McFadden) dienen der Modellbewertung. Anwendungsbereiche sind Klassifikation mit mehr als zwei Outcomes, z. B. Wahlabsicht, Produktauswahl oder Krankheitskategorien.

Wesentliche Annahmen sind die Unabhängigkeit der Irrelevanten Alternativen (IIA); bei Verstößen können Nested- oder Mixed-Logit-Modelle sinnvoll sein. Die multinomiale logistische Regression ist flexibel und erfordert keine ordinale Annahme, doch steigt mit der Zahl der Kategorien die Komplexität und der Datenbedarf.