multinomiaalilause

Multinomiaalilause on matemaattinen kaava, joka kuvaa binomin potenssin laajennusta yleisemmin useamman termin potenssin tapauksessa. Binomilause kuvaa muotoa (a + b)^n laajennusta, kun taas multinomiaalilause yleistää tämän muotoon (x₁ + x₂ + ... + xₖ)^n.

Multinomiaalilause määrittelee, että (x₁ + x₂ + ... + xₖ)^n voidaan laajentaa summana kaikista termeistä muotoa c * x₁^(n₁) * x₂^(n₂) * ... * xₖ^(nₖ), missä eksponenttien n₁, n₂, ..., nₖ summa on yhtä suuri kuin n (eli n₁ + n₂ + ... + nₖ = n), ja kaikki eksponentit ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja. Tämän kertoimen c arvo annetaan multinomiaalikertoimella, joka merkitään usein muodossa (n / (n₁ n₂ ... nₖ)) tai \binom{n}{n₁, n₂, ..., nₖ}.

Multinomiaalikerroin lasketaan kaavalla n! / (n₁! * n₂! * ... * nₖ!), missä "!" tarkoittaa kertomaa. Esimerkiksi, jos meillä on (x₁ + x₂ + x₃)², lauseen mukaan summa koostuu termeistä, joiden eksponenttien summa on 2. Mahdolliset eksponenttiyhdistelmät ovat (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1) ja (0,1,1). Multinomiaalikertoimet näille olisivat vastaavasti 2!/(2!0!0!) = 1, 2!/(0!2!0!) = 1, 2!/(0!0!2!) = 1, 2!/(1!1!0!) = 2, 2!/(1!0!1!) = 2 ja 2!/(0!1!1!) = 2. Laajennus on siis 1*x₁² + 1*x₂² + 1*x₃² + 2*x₁x₂ + 2*x₁x₃ + 2*x₂x₃.

Multinomiaalilausetta käytetään useilla matematiikan ja tilastotieteen aloilla, kuten todennäköisyyslaskennassa ja kombinatoriikassa. Se on hyödyllinen työkalu, kun käsitellään tilanteita, joissa on enemmän kuin kaksi mahdollista lopputulosta tai vaihtoehtoa.