momentvärden

Momentvärden är ett centralt begrepp inom sannolikhetsteori och statistik som beskriver en slumpvariables fördelning genom att ta förväntningen av dess potenser. För en slumpvariabel X med fördelning F och där E[|X|^k] är finite definieras de ordinarie momenten (raw moments) som m_k = E[X^k]. Det första momentet m1 är medelvärdet μ = E[X]. Det andra momentet m2 = E[X^2] ger information om spridningen tillsammans med μ via Var(X) = E[(X − μ)^2].

Skillnaden mellan ordinarie och centrala moment är att de centrala momenten används för att lägga bort placeringen av fördelningen. De centrala momenten μ_k definieras som μ_k = E[(X − μ)^k], där μ = E[X]. Första centrala momenten är noll, μ1 = 0; andra centrala momenten μ2 = Var(X). Tredje och fjärde centrala momenten är kopplade till skevhet och kantheadhet, ofta via standardiserade mått som skewness γ1 = μ3/σ^3 och kurtosis γ2 = μ4/σ^4.

Momenten hänger samman med begreppet momentgenereringsfunktion M_X(t) = E[e^{tX}]. Genom att expandera M_X(t) i en Taylor-serie omkring t = 0 får man m_k som derivator av M_X vid t = 0. Dessutom används logaritmen av M_X(t), den så kallade cumulantgenereringsfunktionen K_X(t) = log M_X(t), där derivatorna ger cumulanter som ger information om fördelningens form.

Användningar: momentvärden används i parameterestimering (metoden moments), beskrivning av fördelningens form, skevhet och kanthet, samt i inferens och provtagning. Viktiga begränsningar är att vissa fördelningar inte har finite moment upp till alla ordningar, och i några fall bestäms inte en distribution helt av sina moments (momentproblemet).