maximaliteit

Maximaliteit is de eigenschap van iets dat niet verder kan worden uitgebreid binnen een gegeven structuur. In de wiskunde kan het gaan om de maximaliteit van een element in een ordening, van een subset met betrekking tot inclusie, of van een substructuur zoals een ideaal of een subruimte.

In de ordeleer: laat (S, ≤) een gedeeltelijk geordende verzameling zijn. Een element x ∈ S is maximaal als er geen y ∈ S bestaat met x < y. Een maximum daarentegen is een element dat groter is dan of gelijk aan alle elementen in S; indien aanwezig is het maximale element uniek, terwijl er meerdere maximalen kunnen zijn en soms helemaal geen maximum.

In de algebra: een maximaal ideaal M van een ring R is een ideaal dat geen groter,juist ideaal bevat. In R/M is de quotient een veld. Een bekend voorbeeld: in Z zijn de idealen pZ met priem p maximale idealen; Z/pZ is dan een veld.

Bestaan en constructie: bestaansstukken via het Zorn’s lemma: als elke keten in een niet-lege deelverzameling van een partiële orde een upper bound heeft, dan bestaat er een maximaal element.

Toepassingen en notities: maximaliteit speelt een centrale rol in veel takken van de wiskunde, waaronder module-theorie, topologie en de studie van ordeningen; de precieze betekenis van maximaliteit hangt af van de omringende structuur.