matriisifunktioita

Matriisifunktiot ovat matriiseihin sovellettavia funktioita. Yleisin matriisifunktioiden luokka on polynomifunktiot, joissa matriisi korvaa muuttujan. Esimerkiksi, jos f(x) = ax^2 + bx + c, niin matriisifunktio f(A) on A^2 + bA + cI, missä A on neliömatriisi ja I on identiteettimatriisi. Matriisifunktion laskeminen voi olla työlästä suoraan määritelmästä, erityisesti korkeamman asteen polynomeille.

Erilaisia matriisifunktioita voidaan määritellä myös käyttämällä matriisin ominaisarvohajotelmaa. Jos matriisilla A on diagonaalisoitu muoto A = PDP^(-1), missä D on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalilla ovat A:n ominaisarvot, niin funktio f(A) voidaan laskea muodossa f(A) = P f(D) P^(-1). Tässä f(D) on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalilla ovat funktion f arvot matriisin A ominaisarvoille. Tämä lähestymistapa on erityisen hyödyllinen monille analyyttisille funktioille, kuten eksponenttifunktiolle (e^A) tai trigonometrisille funktioille.

Matriisifunktioilla on sovelluksia monilla matematiikan ja fysiikan aloilla. Niitä käytetään esimerkiksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa, kvanttimekaniikassa ja signaalinkäsittelyssä. Matriisifunktion, kuten matriisiekspotentin, laskeminen on keskeinen askel monien dynaamisten järjestelmien käyttäytymisen analysoinnissa.