ominaisarvoille

Ominaisarvot ovat lineaarialgebran keskeinen käsite. Ne ovat sellaisia lukuja λ, että on olemassa ei-nolla v ∈ F^n, jolla Av = λv, missä A on n×n-matriisi ja F on kenttä (yleensä reaaliluvut tai kompleksiluvut). Toisin sanoen ominaisarvo kuvaa, miten matriisi A skaalaa tietyn suunnan v sen käytössä.

Ominaisarvot löytyvät ratkaisemalla polynomi p(λ) = det(A - λI) = 0, jossa I on identtisyysmatriisi. Kukin juur λ on ominaisarvo ja siihen liittyvät ei-nolla vektorit Av = λv, joita kutsutaan ominaisvektoreiksi. Ominaisarvot voivat esiintyä useamman kerran matriisin ominaisarvoyhtälössä; lukumäärä ja ominaisvektoreiden lukumäärä liittyvät toisiinsa geometrian ja lineaarien riippuvuuksien kautta.

Ominaisarvot ovat invariantsia matriisin muunnoksille: jos B = P^{-1}AP, niin A:n ja B:n ominaisarvot ovat samat. Reaaleille matriiseille ominaisarvot voivat olla todellisia tai monimutkaisia, ja monimutkaiset ominaisarvot ilmenevät pareittain (λ ja λ̄). Erityistapaus on reaali-integroidut symmetriset matriisit, joissa ominaisarvot ovat todellisia ja matriisi voidaan diagonoida ortogonaalisen transformaation avulla.

Laskenta- ja sovelluskäytännöt: ominaisarvot voidaan löytää ratkaisemalla karakteristinen polynomi tai käyttämällä numeerisia menetelmiä, kuten QR-algoritmia. Suuremmille matriiseille yleisiä ovat iteratiiviset lähestymistavat. Ominaisarvot ovat keskeisiä esimerkiksi vakautta analysoitaessa dynaamisissa järjestelmissä, värähtelymalleissa, pääkomponenttianalyysissä sekä verkkosijainnin ja verkostojen analyysissä.