ominaisarvoyhtälössä

Ominaisarvoyhtälö on lineaarialgebran keskeinen käsite. Se esitetään yleensä muodossa Ax = λx, missä A on n x n -matriisi, x on n x 1 -nollasta poikkeava vektori, ja λ on skalaari. Tässä yhtälössä vektoria x kutsutaan matriisin A ominaisvektoriksi ja skalaaria λ sen ominaisarvoksi.

Yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muodossa (A - λI)x = 0, missä I on identiteettimatriisi. Jotta tällä yhtälöllä olisi nollasta poikkeava ratkaisu x:lle, matriisin (A - λI) on oltava singulaarinen. Tämä tarkoittaa, että sen determinantin on oltava nolla: det(A - λI) = 0. Tätä yhtälöä kutsutaan matriisin A karakteristiseksi polynomiksi, ja sen juuret ovat matriisin A ominaisarvot.

Ominaisarvot ja ominaisvektorit ovat tärkeitä monilla matematiikan ja tieteen aloilla. Niitä käytetään esimerkiksi lineaarikuvauksien analysoinnissa, differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa, kvanttimekaniikassa, tilastotieteessä ja kuvanpakkausmenetelmissä. Ominaisarvot kertovat, miten lineaarimuunnos venyttää tai kutistaa avaruutta tietyissä suunnissa, jotka määritellään ominaisvektoreilla. Jos ominaisarvo on positiivinen, vektori venyy; jos se on negatiivinen, vektori kääntyy ja venyy; jos se on nolla, vektori litistyy nollaksi.