Matriisifunktiot

Matriisifunktiot ovat matriiseihin sovellettavia funktioita. Ne ovat laajennuksia skalaarifunktioista, joita sovelletaan matriisialkioihin. Yleisin tapa määritellä matriisifunktio on Taylorin sarjan avulla. Jos funktioksi f(x) on olemassa Taylorin sarjakehitelmä origon ympärillä, f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + ..., niin matriisifunktio f(A) määritellään korvaamalla x matriisilla A: f(A) = c_0 I + c_1 A + c_2 A^2 + ..., missä I on yksikkömatriisi.

Esimerkiksi eksponenttifunktio e^x voidaan määritellä matriisille A seuraavasti: e^A = I + A + (1/2!) A^2 + (1/3!) A^3 + .... Toinen yleinen esimerkki on matriisin polynomi, kuten A^2 + 3A - 2I.

Matriisifunktioiden laskenta voi olla hyödyllistä monilla matematiikan ja fysiikan aloilla, kuten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Esimerkiksi differentiaaliyhtälöjärjestelmän x'(t) = Ax(t) ratkaisu voidaan ilmaista eksponenttimatriisifunktion avulla: x(t) = e^(At) x(0).

Matriisifunktioiden määritelmä ja ominaisuudet riippuvat matriisin ominaisarvoista ja ominaisvektoreista. Erityisesti jos matriisi A voidaan diagonalisoida, eli A = PDP^(-1), missä D on diagonaalimatriisi, niin f(A) = P f(D) P^(-1). Tällöin f(D) saadaan soveltamalla funktiota f diagonaalimatriisin D alkioihin.