eksponenttimatriisifunktion

Eksponenttimatriisifunktio, joka tunnetaan myös nimellä matriisiekspotenttifunktio, on matriisialgebraan liittyvä käsite, joka yleistää tavallisen eksponenttifunktion e^x matriiseihin. Se määritellään usein Taylorin sarjan avulla.

Matriisille A, eksponenttimatriisifunktio e^A määritellään seuraavasti: e^A = I + A + (A^2 / 2!) + (A^3 / 3!) + ..., missä I on identiteettimatriisi ja A^k tarkoittaa matriisin A kertomista itsellään k kertaa. Tämä sarja suppenee aina kaikille neliömatriiseille.

Eksponenttimatriisifunktion laskeminen suoraan sarjasta voi olla työlästä. Usein käytetäänkin tehokkaampia menetelmiä, kuten matriisin diagonalisointia tai Jordanin normaalimuotoon hajottamista. Jos matriisi A on diagonalisoituva siten, että A = P D P^(-1), missä D on diagonaalimatriisi, niin e^A = P e^D P^(-1). Tällöin e^D:n laskeminen on helppoa, sillä se on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat alkuperäisen diagonaalimatriisin vastaavien alkioiden eksponenttifunktioita.

Eksponenttimatriisifunktiolla on keskeinen rooli differentiaaliyhtälöiden järjestelmien ratkaisemisessa. Erityisesti ensimmäisen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden järjestelmä muotoa x'(t) = Ax(t), missä A on vakio matriisi, saadaan ratkaistua muodossa x(t) = e^(At) x(0). Tässä e^(At) on eksponenttimatriisifunktio, jossa matriisia kerrotaan skalaarilla t. Tämä analogia tavallisen eksponenttifunktion ratkaisemaan differentiaaliyhtälöön x'(t) = ax(t) on yksi eksponenttimatriisifunktion tärkeyden syistä. Sillä on sovelluksia myös muilla matematiikan ja fysiikan aloilla, kuten kvanttimekaniikassa.