diagonalisointia

Diagonalisointi (diagonalisaatio) on lineaarialgebrassa prosessi, jossa neliömatriisi A pyritään esittämään diagonaalimuodossa samankaltaisuuden kautta. Tämä tarkoittaa, että on invertible matriisi P, jolla P^{-1}AP = D, missä D on diagonaalinen matriisi. Tällöin A voidaan kirjoittaa myös muodossa A = P D P^{-1}. Diagonalisointi helpottaa monia laskutoimituksia, kuten matriisifunktioiden ja potenssien laskemista.

Riittävä ehto diagonalisoinnille on, että jokaisella algbraalisella kertaluvulla on saman verran geometrian kertalukuja kuin sen algebraallinen kertaluku, eli A:lla on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Käytännössä tämä tarkoittaa, että karakteristinen polynomi det(A−λI)=0 antaa joukosta ominaisarvoja λi, ja kuhunkin λiin liittyvät ominaisvektorit muodostavat riittävän määrän suoria vector-tiloja, joiden yhteisistä vektoreista muodostetaan P. Jos näin ei ole, A ei ole diagonaalisoitavissa.

Prosessi koostuu päävaiheista: 1) lasketaan ominaisarvot ratkaisemalla det(A−λI)=0; 2) kullekin λ ratkaistaan (A−λI)x=0-ongelma saadakseen eigenvektorit; 3) muodostetaan P, jonka sarakkeina ovat valitut eigenvektorit; 4) muodostetaan D diagonaalina λ-arvoineen. Jos P on kääntyvä, A = P D P^{-1}. Mikäli diagonaalimuotoa ei ole mahdollista saada, voidaan käyttää muita tavallisia normalisoinnin muotoja, kuten Jordanin normaalia muoto.

Esimerkki: A = [[4,1],[0,2]] on diagonaalisoituva, sillä ominaisarvot ovat 4 ja 2, ja vastaavat lineaarisesti erilliset eigenvektorit (1,0) ja (1,-2). Tällöin P = [[1,1],[0,-2]] ja D = diag(4,2), jolloin P^{-1}AP = D.