matriisifunktioiden

Matriisifunktiot ovat matriiseihin sovellettavia funktioita. Ne ovat laajennuksia skalaarifunktioista, joita sovelletaan matriisialkioihin. Yleisimmin käsitellään analyyttisiä funktioita, kuten eksponentti- ja trigonometrisia funktioita.

Matriisifunktion määritteleminen perustuu usein funktion Taylorin sarjakehitelmään. Esimerkiksi matriisifunktion $f(x)$ Taylorin sarja pisteen $a$ ympärillä on $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$. Kun tämä sovelletaan matriisiin $A$, saadaan $f(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(A-aI)^k$, missä $I$ on identiteettimatriisi. Jos $a=0$, kaava yksinkertaistuu muotoon $f(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}A^k$.

Yksi keskeisimmistä matriisifunktioista on matriisieksponentti, $e^A$. Sen määritelmä on $e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A^k$. Matriisieksponentilla on tärkeitä sovelluksia esimerkiksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Myös matriisisinillä ja -kosineilla on omat määritelmänsä Taylorin sarjojen perusteella.

Matriisifunktioiden laskenta voi olla monimutkaista, ja sen toteuttamiseen on kehitetty useita algoritmeja. Yksi tapa laskea matriisifunktioita on käyttää matriisin ominaisarvokehitelmää. Jos matriisi $A$ on diagonalisoituva, eli $A = PDP^{-1}$, missä $D$ on diagonaalimatriisi sen ominaisarvoilla, niin $f(A) = Pf(D)P^{-1}$. Funktion $f$ soveltaminen diagonaalimatriisiin $D$ tarkoittaa yksinkertaisesti funktion soveltamista sen diagonaalialkioihin.