Matriisifunktion

Matriisifunktio on matematiikassa funktio, jonka argumenttina on matriisi ja jonka arvona on myös matriisi. Yksinkertaisimmillaan matriisifunktio voi olla polynomi, jossa matriisi korvaa muuttujan. Esimerkiksi matriisille A ja skalaarille c, matriisipolynomi voisi olla a_n A^n + ... + a_1 A + a_0 I, missä I on identiteettimatriisi ja a_i ovat skalaarikertoimia.

Yleisemmin matriisifunktiot voidaan määritellä esimerkiksi Taylorin sarjojen avulla. Jos skalaarifunktiolla f(x) on Taylorin sarjakehitelmä origon ympäristössä, f(x) = sum(c_n x^n), niin vastaava matriisifunktio voidaan määritellä f(A) = sum(c_n A^n). Tämä edellyttää, että matriisipotenssit A^n ovat olemassa ja sarja suppenee. Eksponenttifunktio exp(A) on yksi tunnetuimmista matriisifunktioista, joka määritellään exp(A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + ...

Matriisifunktioita käytetään monilla matematiikan ja fysiikan aloilla. Niitä hyödynnetään esimerkiksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa, kvanttimekaniikassa ja signaalinkäsittelyssä. Matriisifunktion ominaisuudet, kuten sen derivaatta ja integraali, ovat myös tutkimuksen kohteena. Erityisesti matriisifunktion laskeminen voi olla laskennallisesti vaativaa, ja tehokkaita algoritmeja sen määrittämiseksi on kehitetty.