logarítmica

La logarítmica es el conjunto de conceptos, funciones y aplicaciones relacionadas con los logaritmos. Un logaritmo, para una base b>0 y b≠1, es la solución y de la ecuación b^y = x. Así, la función logarítmica log_b(x) es la inversa de la exponencial b^x. Su dominio es x>0 y su rango real. Entre las identidades clave se encuentran log_b(1)=0, log_b(b)=1, log_b(xy)=log_b(x)+log_b(y), log_b(x/y)=log_b(x)-log_b(y) y log_b(x^k)=k log_b(x).

La base determina la monotonía: para b>1, log_b(x) es creciente; para 0<b<1, es decreciente. Sus derivadas y integrales suelen expresarse en términos de logaritmos naturales: d/dx log_b(x) = 1/(x ln b) y ∫ log_b(x) dx = x log_b(x) - x/ln b + C. La fórmula de cambio de base, log_b(x) = ln x / ln b, facilita cálculos usando logaritmos de base e u otras bases.

En gráficas, la función pasa por (1,0) y tiende a −∞ cuando x→0+, creciendo sin límite para x→∞ cuando b>1. Las logarítmicas se usan en escalas como pH, decibelios y la escala de Richter, así como en análisis de magnitud y en algoritmos informáticos. Notaciones comunes incluyen ln(x) para logaritmo natural y log10(x) para logaritmo decimal, siendo log_b(x) el logaritmo de base b. Ejemplos: log_2(8)=3 y ln(e^3)=3.