linealización

Linealización, en matemáticas y disciplinas afines, es el proceso de aproximar un objeto no lineal por uno lineal cerca de un punto dado. Se formaliza con el término de primer orden de la serie de Taylor alrededor del punto de interés. En una variable, f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0). En varias variables, f: R^n → R^m, la linealización es f(x) ≈ f(x0) + J_f(x0)(x - x0), donde J_f es la matriz Jacobiana.

En sistemas dinámicos, la linealización alrededor de un punto de equilibrio x* usa Df(x*) para aproximar el sistema. Si x' = f(x) y f(x*) = 0, la forma linealizada es δẋ = A δx, con A = Df(x*). La estabilidad local se infiere a través de los valores propios de A (teorema de Hartman–Grobman).

En teoría de control, se linealiza un sistema no lineal x' = f(x, u) alrededor de (x0, u0) para obtener δẋ = A δx + B δu, donde A = ∂f/∂x y B = ∂f/∂u evaluados en (x0, u0). Esto facilita el diseño de controladores y observadores mediante técnicas lineales.

Ejemplos: sin(x) cerca de x=0 se aproxima por x; e^x ≈ 1 + x. Limitaciones: la linealización es válida localmente y puede no capturar comportamientos no lineales alejados del punto de expansión; depende de differentiabilidad y de la estabilidad del punto.

La linealización se aplica en física, ingeniería, economía y ciencias computacionales para simplificar modelos, estudiar estabilidad y realizar cálculos aproximados.